Закон Бенфорда как индикатор фальсификации выборов в пиндосии

Дожились! Действующий президент США открыто утверждает, что итоги выборов в самой свободной стране мира сфальсифицированы. Либеральные СМИ в ответ дружно убеждают американцев, что их президент, как всегда, лжет. Неизвестно, какое из этих мнений более лестно для американской демократии, но почему бы в этой непростой ситуации не обратиться за помощью к математике.

«Было замечено, что первые страницы логарифмических таблиц оказываются более затертыми, чем последние, демонстрируя, что чаще используются числа, начинающиеся с цифры 1, чем с цифры 9», – так начинается опубликованная в 1937 году работа физика исследовательской лаборатории General Electric Фрэнка Бенфорда. В ней автор описал обнаруженную им странную статистическую закономерность, получившую название закона Бенфорда или закона первой цифры. Он гласит, что почти в любом наборе числовых данных, взятых из реальной жизни, чисел, начинающихся с цифры 1 будет больше, чем начинающихся с цифры 2, а тех в свою очередь больше, чем начинающихся с 3 и т.д. Причем вероятность появления уменьшается по экспоненте.

К примеру, если вы возьмете адресную книгу крупного города и упорядочите номера всех его домов, то чисел, начинающихся с цифры 1, в этом наборе будет около 30,1%, то есть почти треть. Чисел, начинающихся с цифры 2, окажется 17,6%. Чисел, начинающихся с 3, встретится лишь 12,5%, с 4 – 9,7% и т.д., а на числа, начинающиеся с 9, останется только 4,6%, то есть вероятность их появления в 6,5 раз меньше, чем у чисел, начинающихся с 1.

Объяснение этого феномена обычно сопровождается довольно туманными для непосвященных рассуждениями математического характера, но в непозволительно упрощенном виде причина состоит в том, что если вы начнете что-то пересчитывать, то цифра 1 будет обязательно присутствовать в каждой вашей калькуляции, а вот до цифры 9 добраться получится не всегда. В случае с номерами домов, например, очевидно, что дом номер 1 есть на каждой улице. Велика вероятность и того, что на этой улице будут и дома с номерами от 10 до 19. Не исключено даже, что улица продлится и до домов с номерами от 100 до 199, но много дальше она, скорее всего, не протянется. Нетрудно увидеть, что у цифры 1, с которой начинается любой подсчет, есть преимущество. Аналогичные рассуждения можно распространить и на числа куда большего порядка.

Впрочем, еще раз подчеркиваем, что приведенные выше объяснения возмутительно некорректны и имеют намерение лишь указать на некое направление мысли, которое, в общем, даже и не назовешь верным, но тех, кому нужны исчерпывающие формулировки, мы отсылаем к специальной литературе, а для целей этой статьи важно, что закон Бенфорда распространяется на очень большой класс статистических наборов данных. Ему подчиняются длины рек, населения стран мира, молекулярные массы химических соединений, счета за электричество, остатки товаров на складе, цены акций, высоты небоскребов, тиражи газет. Везде цифра 1 на первой позиции появляется не с вероятностью 1/9, как, казалось бы, должно быть, а с вероятностью 1/3. Интересно еще и то, что если мы переведем килограммы в фунты или километры в мили – ничего не изменится. Закон Бенфорда все равно будет действовать.

Если же закон Бенфорда нарушается и в начале чисел чаще всего встречается, к примеру, цифра 5, то это должно наводить на мысль о том, что статистическая подборка на самом деле представляет собой набор случайных величин, а не результат реальных подсчетов. Теоретически таким образом можно разоблачить фальшивку. Сказанное относится и к результатам выборов.

То есть если мы возьмем число проголосовавших за того или иного кандидата на каждом избирательном участке и обработаем массив этих данных, то в случае честных выборов приблизительно треть всех чисел должны начинаться на единицу. Если же выборы нечестные и количество голосов за какого-то кандидата подтасовано, то вероятность появления той или иной цифры на первой позиции будет меняться по какому-то иному правилу.

Сразу скажем, что вопрос о том, подчиняются ли закону Бенфорда результаты выборов, – дискуссионный. Одни эксперты отвечают на него положительно, особенно когда речь заходит о выборах в России или Иране, другие – что в лучшем случае нарушение закона Бенфорда может указывать на некие аномалии в подсчетах, но не служить доказательством фальсификаций. К примеру, после выборов в США, когда социальные сети заполнились любительской аналитикой по этому вопросу, либеральные СМИ разразились целым рядом статей, в которых профессоры уважаемых университетов убеждали читателей, что все это сущие пустяки.

Разумеется, нам очень бы хотелось проверить все расчеты самим, но, к сожалению, с территории России получить доступ к официальным результатам самых прозрачных выборов в мире трудно. Поэтому придется опираться на графики, построенные американскими любителями статистики в соцсетях. Кстати, некоторые из них за время написания этого текста успели бесследно исчезнуть с просторов интернета. Например, вот этот график, имеющий прямое отношение к вопросу о применимости закона Бенфорда к выборам.

Вот какая картинка получилась у одного из любителей статистики, который проанализировал, как он утверждает, данные по всем избирательным участкам США (см. график выше). Как видим, результаты по обоим кандидатам вполне соответствуют закону Бенфорда. То есть закон Бенфорда все-таки действует на выборах. И вроде бы получается, что президентские выборы в США были честными. Во всяком случае, по этому критерию.

Но особенность американской избирательной системы состоит в том, что победителя определяют не прямым голосованием, а через выборщиков от каждого штата. Это приводит к тому, что для фальсификации результатов не нужны массовые вбросы миллионов фальшивых бюллетеней. Достаточно чуть подправить итоги голосования в так называемых колеблющихся штатах, где разница иногда составляет несколько сотен голосов.

Напомним, что произошло в США в ночь с 3 на 4 ноября. До вечера 3 ноября Дональд Трамп в целом не уступал своему конкуренту, но ночью в некоторых штатах произошли удивительные метаморфозы (см. графики выше для Мичигана и Висконсина): неожиданно обнаружились сотни тысяч дополнительных бюллетеней и, самое удивительное, почти все они оказались в пользу Байдена.

А вот как шла президентская гонка в Пенсильвании, где Байден также резко сократил свое отставание, а затем и вышел вперед уже после закрытия избирательных участков. В общем, тут есть объяснения: поступили результаты обработки бюллетеней заочного голосования по почте. И вполне может быть, что они почти все оказались за Байдена. А как в этом сомневаться? Ведь американские выборы самые честные. Там не может быть подтасовок, хотя, например, вот в этой статье знающий человек подробно рассказывает, как он лично годами фальсифицировал почтовые бюллетени. Но, предположим, что эта анонимная статья – злобный пасквиль на американскую демократию. Тогда давайте посмотрим на эти результаты через фильтр закона Бенфорда.

Вот какие графики с обработкой данных голосования в крупнейших городах колеблющихся штатов гуляют по сети. Как видим, в Филадельфии (Пенсильвания), Милуоки (Висконсин) и Детройте (Мичиган) с голосами за Трампа с точки зрения закона Бенфорда все в порядке (верхние графики). А вот для голосов, поданных за Байдена, этот закон не писан. Особенно показательна картина в Детройте, где самой популярной цифрой оказалась 5, что и должно быть, если набор данных представляет собой вставленные от балды числа.

Вот более подробный анализ данных в Милуоки. Важно, что здесь обработаны результаты по всем кандидатам. Закона Бенфорда для всех выполняется. Кроме пары Джо Байден – Камала Харрис.

А вот данные по Чикаго (Иллинойс). И здесь голоса за демократов ведут себя не так, как голоса за других кандидатов. Но, конечно, это ничего никому не доказывает, и избрание Байдена западные СМИ дружно провозгласили победой правды и демократии над ложью и лицемерием. Еще бы. В полном соответствии с текущей политической повесткой белый педофильский патриархат в лице Трампа повержен цветной трансгендерной молодежью в лице… 77-летнего Байдена. Весь мир затаив дыхание наблюдал за схваткой двух белых старцев, которые в борьбе за светлое будущее Америки полгода публично напрягали те непарные мышцы, которые у них хоть как-то работали. Это было, конечно, захватывающее зрелище.

Холдинг НИКС – это сеть из более чем 100 магазинов цифровой техники по всей России; это инжиниринговый центр по проектированию высокотехнологичных производств «Проектмашприбор», на 75% принадлежащий компании НИКС и на 25% – Госкорпорации «Ростех»; это нанотехнологическая лаборатория, в стенах которой разработаны и изготовлены сканирующие туннельные микроскопы, исследуется квантовый электронный транспорт в металлических наноструктурах, ведутся работы по квантовым вычислениям; это агропромышленный комплекс «Тюринский» площадью 19 800 га в Тульской области, который по производительности труда сопоставим с немецкими фермерскими хозяйствами.

Читайте также:

Как теорема Эрроу доказывает, что Лукашенко настоящий победитель

Теорема о неизбежности диктатора.

Международное право и лево Америки

Баллада о Троцком.

Социолог, предсказавший распад СССР, предрекает крах Америке

И произойдет это к 2050 году.